Matemáticas 4º ESO Franciscanos Coruña: 2012

La paradoja del Asno de Buridán

Siete paradojas clásicas para devanarse los sesos

Se refiere a una situación paradójica en la que un asno que siempre tenía opciones bien diferenciables para realizar su elección, un día es colocado exactamente entre dos montones de heno de igual tamaño y calidad. La duda lo llevará a morirse de hambre ya que no podrá tomar ninguna decisión racional sobre cuál de los dos montones será su comida. Si bien ha sido nombrada en homenaje al filósofo francés Jean Buridan, la paradoja no fue originada por Buridán originalmente, sino por Aristóteles, que ejemplifica el pensamiento ante una decisión con opciones equilibradas o demasiado balanceadas, con un hombre que permanece inmóvil con tanta sed como hambre entre dos mesas. Una con bebidas y otra con comida. La paradoja es que la supuesta igualdad de condiciones puede condenar a elegir cualquier opción, pero la idea principal no era esa, sino la de elegir siempre la mejor opción. Habiendo dos opciones igual de “mejores” o “peores”, el panorama se complica. Se entra en ciclos de razonamiento complejos y el final es el que todos conocemos: la indecisión.

Aquiles y la tortuga

Otra del amigo Zenón en pos de mandar a callar a los pitagóricos negando la posibilidad del movimiento y hablando sobre el infinito. En la paradoja de Aquiles y la tortuga, tal y como en el cuento, ésta última se encuentra con alguien más rápido que ella. Se trata del gran Aquiles, que le dará una ventaja de 150 metros en una carrera pedestre. Alguna romana en cortos vestidos da la señal de salida y empezamos a suponer que cada corredor empieza a correr a cierta velocidad constante (uno muy rápido y otro muy lento). Después de un determinado lapso de tiempo, Aquiles ha recorrido 150 metros, llevándolo al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha avanzado una distancia mucho más corta, por ejemplo, 20 metros. Aquiles deberá recorrer durante un tiempo para alcanzar el punto en donde estaba la tortuga cuando el partió desde sus 150 metros. Para ese entonces, la tortuga ya habrá avanzado un poco más, demostrando que cada vez que Aquiles alcanza el estado anterior de la tortuga, esta ya se habrá movido. Por lo tanto, Aquiles nunca puede superar a la tortuga. Si ya estás afinando el lápiz para decirme que no, que la experiencia dicta otra cosa, tienes razón. Pero por esto mismo esto es una paradoja, pues está enunciada desde la matemática y no desde la física. Reglas matemáticas a situaciones no matemáticas pueden tener resultados extraños, como que se te escape la tortuga.

Paradoja del ahorcamiento sorpresa

Medioevo, una prisión en la fosa de un castillo, un condenado a muerte espera a que le digan en qué día de la agenda del verdugo dejará este mundo. Quien lo condena le indica que el ahorcamiento será una madrugada de la próxima semana, pero que no le dirá cuándo, buscando que sea sorpresa hasta que el verdugo le toque la puerta de su encierro. Escuchada esta frase, el prisionero se siente aliviado, pues sabe que se escapará de la muerte. ¿Qué? ¿Además de condenado estaba loco? No, al contrario. El prisionero razona que si lo que se le ha dicho es cierto y será colgado por sorpresa, el día elegido no será el viernes. Ya que si para el momento en que sea jueves no fue colgado, el ahorcamiento del viernes no sería una sorpresa. Lo mismo sucede con el jueves, pues si el viernes ya se eliminó y el miércoles de noche no es colgado, el jueves ya sería una obviedad. Lo mismo utiliza para eliminar el miércoles, el martes y el lunes, yéndose a dormir tranquilo con la idea fija de que no será ahorcado. La semana siguiente, el miércoles a la mañana, el prisionero fue ahorcado sorpresivamente. ¿Hace falta que te explique por qué lo que dijo el Rey se cumplió?

Si te pareció conocida es porque seguramente ya la viviste muchas veces, pues por algo también es conocida esta paradoja como la del examen sorpresa, donde además de las premisas, el final termina casi siempre siendo el mismo: mueres ahorcado valorativamente por el profesor verdugo.

Paradoja de la flecha

Discípulo directo de Parménides, Zenón de Elea dice en la paradoja de la flecha que si lanzábamos una flecha y tomábamos en cuenta sus millones de posiciones sobre el vuelo como si fueran instantes, nos daríamos cuenta que la flecha no realiza movimiento alguno, pues en todo momento tomado como instante está en posición específica, lo que anula el movimiento en sí mismo. Una manera de comprender mejor esto es pensar en los frames por segundo de una animación de corta duración. Si los tomamos como imágenes fijas, el movimiento no ocurre. Con esto que parece una tontería Zenón te cachetea el hipotálamo y te dice: no puedes juzgar si un objeto está en reposo o en movimiento observando sólo un instante cualquiera. Para sacar las conclusiones tendrás que comparar los instantes que le antecedan o prosigan. Así de simple, Zenón te hizo un nudo mental y puso en juego ciertas ideas sobre el concepto mismo de velocidad y su definición racional, dejando en ese tiempo una idea del tipo: ¿Es el movimiento un estado concreto o sólo es el resultado de una comparación de estados? Más, aquí.

La paradoja de la fuerza irresistible o imparable

¿Qué pasa cuando una fuerza irresistible se encuentra con un objeto inamovible? Esto es lo que cuestiona la paradoja que tiene una fuerte intrusión en el ámbito de la lógica. Como en todas las paradojas que venimos presentando, la idea no es pensarla como una realidad posible, sino como un ejercicio. Conocida como la paradoja de una fuerza irresistible o imparable, esta postulación viene a enfrentarse con la idea actual de la ciencia que indica que no existe ningún tipo de fuerza que sea completamente irresistible, además de aseverar teóricamente que no existen objetos inamovibles. Esto se produce porque un objeto inamovible igualmente tendría que tener una inercia con valor igual a infinito, por lo tanto debería estar constituido por una masa infinita. Si tenemos en cuenta un Universo finito, tal energía para la fuerza imparable no puede existir.

Paradoja de los números interesantes

Mitad matemática, mitad humor, la paradoja de los números interesantes habla sobre el supuesto y subjetivo carácter de interesante de los números naturales. No de algunos, sino de todos. La denominación de interesante viene desde algo que todos sabemos y hasta sufrimos constantemente, que es la búsqueda de propiedades únicas o características especiales a determinados números. Y si alguien está pensando en qué un número determinado puede no ser interesante, quien sostenga que los números naturales son siempre interesantes dirá que no, que ese número seleccionado por quien quiere contradecirlo es interesante porque, por ejemplo, es el número que corresponde al año en el que se sucedió un hecho o que es producto de la sumatoria de otros números naturales (también importantes). La demostración real de esta afirmación se da a través de la división de los números naturales y aburridos. De esta forma, siempre habrá un número que será el más pequeño de los aburridos, por lo tanto pasará a ser interesante y por lo tanto habrá que moverlo de grupo. Si esto se sigue dando, nos encontraremos con que el grupo de los aburridos terminará vacío, dando a entender que todos los números son interesantes. Lo paradójico es que esta reducción al absurdo de entidades objetivas tiene un componente subjetivo muy fuerte y ambiguo, el hecho mismo de ser interesantes. Ahora, si al número se le ha puesto el adjetivo de interesante subjetivamente y la paradoja refiere a los números interesantes, ¿qué tan errada está la aseveración principal? Para más información, revisa el artículo específico sobre ella en Neoteo.

Paradoja sorites o del montón

Pone en juego todo lo que normalmente decimos basándonos en el sentido común (prejuicio cognitivo) y en la presunción egocéntrica de la universalidad de un conocimiento determinado. El autor es Eubulides de Mileto, un filósofo griego también conocido por sus paradojas. Una de las más interesantes es la que formula lo siguiente: ¿En qué momento un montón de arena deja de serlo? Esta pregunta nos lleva siempre a realizar deducciones sobre qué constituye un montón de arena. Es así que se dice que dos o tres granos de arena no forman un montón, que un millón sí lo constituyen; que si «n» granos de arenas no forman un montón, si les agregamos un grano de arena más tampoco lo formarán; que si «n» granos de arena son un montón, quitándole un grano seguirá siéndolo. ¿Cuál es la medida adecuada? ¿Cuál es el número interesante que va a inaugurar la existencia o no de un montón de arena? Las respuestas más acertadas podrían ser las siguientes: O bien no hay tal cosa como montones, o bien 1 grano de arena es un montón. Por cierto, sorites significa montón, pila, conjunto en griego. De ahí su nombre, no vayan a pensar que se refiere a otras sustancias igual de amontonables.